以歼灭敌人有生力量为主要目标，不以保守或夺取城市和地方为主要目标。保守或夺取城市和地方，是歼灭敌人有生力量的结果，往往需要反复多次才能最后地保守或夺取之。——毛泽东
我学习数学，基本上都是自学。在这过程中走了多少弯路就不说了，那全是眼泪啊。无论怎样，随着投入了足够多的时间，我慢慢的有了些许经验。其实把这些东西统统说成经验不大确切，其中很多是听来的，至少我深信不疑的。我抽时间总结总结，为人为己恐怕都有利无弊。
一， 集中
要 说在某种意义上最最重要的，要算是这个集中精力的原则了。不久前陶哲轩在其博客上写了一个关于他本人时间安排的帖子，我还把他通篇翻译了下来。帖子中他曾 写道，如果有一堆的问题在他的“要做”清单之中，而其中某个需要很细致的思考，他就会完全排除掉其他干扰，只将注意力放在这一个问题之上。按照我的理解， 就是要集中精力。
我们常常会感到有一大堆的任务，但是无从下手。结果常常是，很长时间过去了，回头看一看，竟然还是那一 大堆任务，还是无从下手。于是乎，最终这些事情也丝毫未动。这样的情况每个人可能都遇到过，静下心来想一想，根本原因就是被困难吓倒了。所以，唯一的办法 恐怕就是把它们分割成一个一个的小任务，按照自己的水平，也许每个任务可以在两三天内解决，然后慢慢的各个击破。这个办法人人都能想到，但是实施起来好像 仍有问题。有的时候，我们用了三五天完成了自己设定的目标，却由于各种各样的原因，又停了下来。等再次回来面对这个任务的时候，又得从头来过，——上次做 到什么程度，早就忘记了。
对上面这件事情，我个人在学习数学的时候体会很深。有的时候我的学习会被一些事情打断。经过一段时间之后，在回来看数学书总有几天的不自在。明明原先已经理解的很清楚的内容却看起来竟然变得生疏，重新浪费了不少时间。
因此，集中是个很长期的过程，你有没有为这件任务做长期拼搏的准备？只要一断开，就变得生疏。不是有句老话吗：“拳不离手，曲不离口”。问题是这件事值不值得，我想只有一种情况下是值得的，那就是当这个任务有一个浪漫而又耐人寻味的名字：事业。
关于“集中”的故事还没讲完。尽管我们已经打算花费足够的精力，尽管我们很有毅力，在里面仍然有一个技巧性的问题。就是怎样能尽最大努力把我们要做的事情变得有趣一些，让我们本身更有兴致，不至于觉得枯燥乏味，天天被它折磨。这个问题才是核心的问题。
我 个人觉得，最好的解决办法就是加入一个优秀的团队，大家都有一个共同的目标，每天谈论啊，研究啊；面对每个具体的困难的时候，又暗地里相互竞争：每一位都 希望自己是首先提出好方案的人。其实，在各行各业中，最优秀的成果几乎都是产生于这样的团队。比如，我个人很喜欢的Pixar的动画制作团队，就是这样的 例子。在这样的团队中，不仅容易作出优秀的成绩，而且工作状态啊，生活的健康程度啊，都无与伦比。所以，能有机会在这样的团队中的，当然要珍惜；暂时没有 机会的，也要寻找，并积极的加入进去。
好吧，你可能跟我一样，还没有这样幸福的环境，那么，万事靠自己，也要遵循着跟前面差不多的原则：就是不要让自己长期在郁闷当中。要努力找一些让自己兴奋起来的良机。
比 如说，几年三月份的时候，我开始关注并学习陶哲轩的博客。万事开头难，因为自己还不能适应自学如此深的材料。当我面对一大堆不懂的东西，有好长时间不知从 何学起。时常发生的情况是，读三行就有两个概念没听过；读一段下来，完全忘了前面在讲什么。后来，我突发奇想，既然这些有关数学的帖子都是新鲜出炉的，其 中错误一定不少。我试着给Tao的帖子挑错误。这个想法着实让我兴奋了一段时间。几个星期，我都坐在电脑旁仔细的看陶的帖子。虽然我找到的错误大多数价值 不大，但是后来惊讶的发现，我自己在数学上收获不小。以至于后来Tao将自己开的博士生课程的讲义贴在博客上，我也能鼓起勇气认真的学下去。
这 个经验对我自己还是很有启发的。通过每一个阶段找到一个合适的目标，事情往往就是这样慢慢完成的。这些目标可以很奇特，很个性，只要别偏离主题就好。我们 虽然可以通过自身的毅力来克服孤独和无聊，但是我们不应该傻到自找没趣。就好比，一个人掌握一门语言的能力，极难仅仅靠字典而不断得到加强。事实上，正是 在不停的运用语言的过程当中，文法的正确运用，恰当的语言习惯得到了的掌握。时间久了，甚至还可以有创造性的发挥一下。而写文章，聊天，辩论，这些可比背 字典有趣多了。
二， 分清思考的对象和记忆的对象，
我们在学习一个新事物的时 候，常常发现有两类截然不同的对象，即思考的对象和记忆的对象。比如拿学英语来说，单数第三人称谓语要有变化，这纯粹数学记忆对象。如果我偏要思考，那到 头来还是想不出什么道理。而另一方面，你写一篇文章，恐怕多是要思考。这两种截然不同的体验是学任何一件东西都需要面对的。而数学，却在这方面非常独特， 在这里面，思考的对象和记忆的对象区别很不明显。我上高中学复数的时候，曾经盯着复数i硬想，总想琢磨个所以然出来。这样其实是耽误了时间的。i的引入显 然是要考后面的运用而慢慢得到体会的。其实说到底是人为定义的，如果任何人能够定义出一个更好的概念来解决问题，就可以替换掉原有的。所以，面对这样的东 西，就应该背下来了事。而另一方面，对于一门数学课程，如果你背下一二百道重要的习题答案，虽然能在一门考试中获得很高的分数，但终究对我们提高数学修养 没有太大助益。所以这同样是浪费了时间。
有一个故事是关于陈省身和吴文俊的。吴文俊早年是学拓扑的，他曾经花费大量时间把拓扑学中大量复杂而又精细的概念总结的清清楚楚，列在一起。他拿着这个东西交给陈省身，却遭到了批评。陈先生说：“这些都是人为规定的东西，你浪费那么多时间，就很难静下来想自己的东西了”
这 至少说明，重要的数学家同样会犯我们会的错误。数学的重心是需要被理解，明明是为了方便才认为定义大量的概念。而学数学却反而容易陷进这些概念之中。这其 中的矛盾给年轻人带来了多少迷惑啊！我想，解决这类问题才是读博士需要一个导师的真正意义。而我们在平时自学的时候，最起码也得就这类问题一直给自己提个 醒才行。
三， 讲给别人听
我以前曾经度过一本畅销书叫《学习的革命》，到现在 只记住其中的一个建议，那就是想学好任何东西最好的方法是讲给别人听。当时我绝没有像现在这样理解这句话的含义。曾经有一段时间，我和一位朋友每周会面一 次，他给我将一些他熟悉的数学，我给他将一些我熟悉的。结果出人意料的是，我给他讲的东西，我本身的收获更大一些。这件事之后，我开始重新审视给“别人讲 ”的价值。
我意识到，当你为别人讲的时候，你总要准备的更加充分。有时候还会有人问出各种问题。这些问题本身就能让你从 一个新角度看待知识。而更重要的是，在给别人讲解的整个过程中，我们本身就不断的仔细推敲，常会发现原来自学时候一笔带过的内容其实是有问题的。而在科研 活动之中，在给别人讲的时候甚至可能会发现很好的研究课题，那可真的是意外的收获了。
Tao把这个观念叫做 manifestation，核心是给别人看，和“给别人讲”的意义很相像。Tao的博客写的那么好，一定花费了大量的精力，这回和他本身的科研相冲突 吗？不会的，也许在某种程度上，他也会从中受益（显然我们受益要多得多）。有这么多人给他的博客指正错误，他在出书的时候直接拿去就已经方便的很了。
我学习数学，基本上都是自学。在这过程中走了多少弯路就不说了，那全是眼泪啊。无论怎样，随着投入了足够多的时间，我慢慢的有了些许经验。其实把这些东西统统说成经验不大确切，其中很多是听来的，至少我深信不疑的。我抽时间总结总结，为人为己恐怕都有利无弊。
一， 集中
要 说在某种意义上最最重要的，要算是这个集中精力的原则了。不久前陶哲轩在其博客上写了一个关于他本人时间安排的帖子，我还把他通篇翻译了下来。帖子中他曾 写道，如果有一堆的问题在他的“要做”清单之中，而其中某个需要很细致的思考，他就会完全排除掉其他干扰，只将注意力放在这一个问题之上。按照我的理解， 就是要集中精力。
我们常常会感到有一大堆的任务，但是无从下手。结果常常是，很长时间过去了，回头看一看，竟然还是那一 大堆任务，还是无从下手。于是乎，最终这些事情也丝毫未动。这样的情况每个人可能都遇到过，静下心来想一想，根本原因就是被困难吓倒了。所以，唯一的办法 恐怕就是把它们分割成一个一个的小任务，按照自己的水平，也许每个任务可以在两三天内解决，然后慢慢的各个击破。这个办法人人都能想到，但是实施起来好像 仍有问题。有的时候，我们用了三五天完成了自己设定的目标，却由于各种各样的原因，又停了下来。等再次回来面对这个任务的时候，又得从头来过，——上次做 到什么程度，早就忘记了。
对上面这件事情，我个人在学习数学的时候体会很深。有的时候我的学习会被一些事情打断。经过一段时间之后，在回来看数学书总有几天的不自在。明明原先已经理解的很清楚的内容却看起来竟然变得生疏，重新浪费了不少时间。
因此，集中是个很长期的过程，你有没有为这件任务做长期拼搏的准备？只要一断开，就变得生疏。不是有句老话吗：“拳不离手，曲不离口”。问题是这件事值不值得，我想只有一种情况下是值得的，那就是当这个任务有一个浪漫而又耐人寻味的名字：事业。
关于“集中”的故事还没讲完。尽管我们已经打算花费足够的精力，尽管我们很有毅力，在里面仍然有一个技巧性的问题。就是怎样能尽最大努力把我们要做的事情变得有趣一些，让我们本身更有兴致，不至于觉得枯燥乏味，天天被它折磨。这个问题才是核心的问题。
我 个人觉得，最好的解决办法就是加入一个优秀的团队，大家都有一个共同的目标，每天谈论啊，研究啊；面对每个具体的困难的时候，又暗地里相互竞争：每一位都 希望自己是首先提出好方案的人。其实，在各行各业中，最优秀的成果几乎都是产生于这样的团队。比如，我个人很喜欢的Pixar的动画制作团队，就是这样的 例子。在这样的团队中，不仅容易作出优秀的成绩，而且工作状态啊，生活的健康程度啊，都无与伦比。所以，能有机会在这样的团队中的，当然要珍惜；暂时没有 机会的，也要寻找，并积极的加入进去。
好吧，你可能跟我一样，还没有这样幸福的环境，那么，万事靠自己，也要遵循着跟前面差不多的原则：就是不要让自己长期在郁闷当中。要努力找一些让自己兴奋起来的良机。
比 如说，几年三月份的时候，我开始关注并学习陶哲轩的博客。万事开头难，因为自己还不能适应自学如此深的材料。当我面对一大堆不懂的东西，有好长时间不知从 何学起。时常发生的情况是，读三行就有两个概念没听过；读一段下来，完全忘了前面在讲什么。后来，我突发奇想，既然这些有关数学的帖子都是新鲜出炉的，其 中错误一定不少。我试着给Tao的帖子挑错误。这个想法着实让我兴奋了一段时间。几个星期，我都坐在电脑旁仔细的看陶的帖子。虽然我找到的错误大多数价值 不大，但是后来惊讶的发现，我自己在数学上收获不小。以至于后来Tao将自己开的博士生课程的讲义贴在博客上，我也能鼓起勇气认真的学下去。
这 个经验对我自己还是很有启发的。通过每一个阶段找到一个合适的目标，事情往往就是这样慢慢完成的。这些目标可以很奇特，很个性，只要别偏离主题就好。我们 虽然可以通过自身的毅力来克服孤独和无聊，但是我们不应该傻到自找没趣。就好比，一个人掌握一门语言的能力，极难仅仅靠字典而不断得到加强。事实上，正是 在不停的运用语言的过程当中，文法的正确运用，恰当的语言习惯得到了的掌握。时间久了，甚至还可以有创造性的发挥一下。而写文章，聊天，辩论，这些可比背 字典有趣多了。
二， 分清思考的对象和记忆的对象，
我们在学习一个新事物的时 候，常常发现有两类截然不同的对象，即思考的对象和记忆的对象。比如拿学英语来说，单数第三人称谓语要有变化，这纯粹数学记忆对象。如果我偏要思考，那到 头来还是想不出什么道理。而另一方面，你写一篇文章，恐怕多是要思考。这两种截然不同的体验是学任何一件东西都需要面对的。而数学，却在这方面非常独特， 在这里面，思考的对象和记忆的对象区别很不明显。我上高中学复数的时候，曾经盯着复数i硬想，总想琢磨个所以然出来。这样其实是耽误了时间的。i的引入显 然是要考后面的运用而慢慢得到体会的。其实说到底是人为定义的，如果任何人能够定义出一个更好的概念来解决问题，就可以替换掉原有的。所以，面对这样的东 西，就应该背下来了事。而另一方面，对于一门数学课程，如果你背下一二百道重要的习题答案，虽然能在一门考试中获得很高的分数，但终究对我们提高数学修养 没有太大助益。所以这同样是浪费了时间。
有一个故事是关于陈省身和吴文俊的。吴文俊早年是学拓扑的，他曾经花费大量时间把拓扑学中大量复杂而又精细的概念总结的清清楚楚，列在一起。他拿着这个东西交给陈省身，却遭到了批评。陈先生说：“这些都是人为规定的东西，你浪费那么多时间，就很难静下来想自己的东西了”
这 至少说明，重要的数学家同样会犯我们会的错误。数学的重心是需要被理解，明明是为了方便才认为定义大量的概念。而学数学却反而容易陷进这些概念之中。这其 中的矛盾给年轻人带来了多少迷惑啊！我想，解决这类问题才是读博士需要一个导师的真正意义。而我们在平时自学的时候，最起码也得就这类问题一直给自己提个 醒才行。
三， 讲给别人听
我以前曾经度过一本畅销书叫《学习的革命》，到现在 只记住其中的一个建议，那就是想学好任何东西最好的方法是讲给别人听。当时我绝没有像现在这样理解这句话的含义。曾经有一段时间，我和一位朋友每周会面一 次，他给我将一些他熟悉的数学，我给他将一些我熟悉的。结果出人意料的是，我给他讲的东西，我本身的收获更大一些。这件事之后，我开始重新审视给“别人讲 ”的价值。
我意识到，当你为别人讲的时候，你总要准备的更加充分。有时候还会有人问出各种问题。这些问题本身就能让你从 一个新角度看待知识。而更重要的是，在给别人讲解的整个过程中，我们本身就不断的仔细推敲，常会发现原来自学时候一笔带过的内容其实是有问题的。而在科研 活动之中，在给别人讲的时候甚至可能会发现很好的研究课题，那可真的是意外的收获了。
Tao把这个观念叫做 manifestation，核心是给别人看，和“给别人讲”的意义很相像。Tao的博客写的那么好，一定花费了大量的精力，这回和他本身的科研相冲突 吗？不会的，也许在某种程度上，他也会从中受益（显然我们受益要多得多）。有这么多人给他的博客指正错误，他在出书的时候直接拿去就已经方便的很了。
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